Это из задачника Бориса Нормана, кажется? Ведь в книге есть и ответы...
Склонение мужской фамилии Бейкель обязательно, женская фамилия не склоняется.
Вам поможет любой учебник по культуре речи. В рамках справочного жанра ответить Вам не можем.
Мужские фамилии склоняются, соотносительные женские – нет.
Мужская фамилия Беккер склоняется, соотносительная женская - нет.
В таких случаях род определяется по родовому слову, то есть "Поль Бейкери" также женского рода: соседняя "Поль Бейкери".
Правильно без кавычек: агентство Рейтер.